數學故事#1 - 韓信點兵(剩餘問題)

韓信(前230年-前196年)是楚漢爭戰期間為劉邦拚江山的名將,漢初三傑之一,對漢代的成立作出了重大貢獻。

在他的許多戰役中,他帶著1500名士兵。這是一場艱苦的戰鬥,約有四百多名士兵死亡。當他們回到總部時,韓國將軍需要知道有多少士兵倖存下來。

然後他命令士兵3名一排,最後一排還有2名士兵。
然後他命令他們5名一排,最後一排仍然是4名士兵。
然後他命令他們7名一排,最後一排仍然是6名士兵。
知道這些數字,他很快就計算出他還有多少士兵。


其實問題是與數理論的不確定方程有關。

x = 2(mod 3)(這意味著x-2可以除以3)
x = 4(mod 5)
x = 6(mod 7)

你能弄清楚嗎?

解:

讓我們x是士兵的數量。在上述情況下,由於x + 1可被3,5和7整除,
也就是說,x + 1 = n(3)(5)(7)= 105n,其中n是正整數。
由於有四百多名士兵死亡,倖存的士兵人數約在1000至1100人。
因此,n必須是10; x =(105)(10)-1 = 1049。

後來,類似的問題是在孫子算經中寫的,這是中國三至五世紀一部著名的數學著作。

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