Dziwna liczba
Dzisiaj chciałbym przedstawić Wam zagadkę matematyczną.
Mamy pewną liczbę, która jest wyrażona w ten oto sposób:
0,99999...
... - Oznaczają, że liczba się nie kończy i "biegnie" tak aż do nieskończoności.
Możemy więc ją również zapisać tak:
0,(9)
() - Gdzie liczba w nawiasie oznacza ciągle powtarzającą się liczbę, w tym przypadku 9.
Zadanie
Liczba 0,99999... jest równa:
A. mniej niż 1,
B. więcej niż 1,
C. równa 1,
D. żadna odpowiedź z powyższych.
Obstawcie swoje typy, a potem przejdziemy do rozwiązania tego problemu.
Dowód matematyczny
Za chwilę okaże się, kto miał rację. Oznaczmy tą liczbę jako x = 0,99999...
x = 0,99999...
Pomnóżmy równanie przez 10. Aby tego dokonać, należy przesunąć miejsce po przecinku o jedno miejsce w prawo. W ten sposób otrzymujemy:
10x = 9,99999...
Odejmijmy 10x - x.
10x - x = 9,99999... - 0,99999...
Jak się okazujemy możemy odjąć liczby po przecinku, gdyż są one takie same.
9x = 9
Dzielimy przez 9.
x=1
Tak, jak się okazało uzyskana liczba to 1.
Na pierwszy rzut oka, wydawało się, że będzie to jednak liczba mniejsza od 1, gdyż każde dodawanie liczby 9 po przecinku nigdy nie powinno dać końcowego wyniku równego 1!
W praktyce, wychodzi jednak coś innego. Zadanie to jest związane z pewnym paradoksem greckim.
Paradoks strzały
Podobny problem opisuje grecki paradoks strzały. Według niektórych starożytnych Greków strzała nigdy nie powinna osiągnąć swojego celu, np. tarczy.
Drogę, którą musi przebyć strzała, dzielimy na połowy. Z połowy, którą otrzymaliśmy, wydzielamy następną połowę, potem ponownie wykonujemy tą czynność i tak w nieskończoność...
Ogólnie drogę (s), którą przebywa strzała, można opisać tak:
1/2s + 1/4s + 1/8s +1/16s + ... = ?
Po przeanalizowaniu tego paradoksu, można dojść do wniosku, że strzała zawsze będzie miała jakąś część drogi do pokonania i nigdy nie dotrze do celu!
Tak się jednak nie dzieje.
Jak widać otrzymany ciąg jest równy drodze (s).
Ciągi liczbowe
Dla zainteresowanych tematem polecam zgłębić zagadnienie ciągów liczbowych. Przedstawiona przeze mnie liczba 0,99999... po odpowiednim przekształceniu tworzy szereg geometryczny, a wyrażenie związane ze strzałą sumę ciągu geometrycznego. Nie chciałem zagłębiać się w tajniki matematyczne, gdyż próbowałem dotrzeć do jak największej ilości osób.
